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Determinant vandermonde exemple

Ce polynôme doit aussi être de degré n − 1 ou moins, mais il a des racines n, parce que r (XI) = 0 pour i = 1,. Ses rangées sont dérivées (d`un certain ordre) des rangées originales de Vandermonde. Par conséquent, nous pouvons tirer la généralisation évidente qui a donné n points (x1, Y1), (x2, Y2),. De toute évidence, si nous avons deux points, il n`y a qu`une seule ligne droite qui traverse les deux points, cependant, il est moins évident quand il ya 5 ou 10 ou 100 points qu`il n`existe qu`un seul polynôme du degré désiré qui passent par ces points. Il modifie un h, i {displaystyle a_ {h, i}} à zéro pour i < h ≤ n. Ensuite, nous définissons le n × n Vandermonde Matrix V en alignant les XI sur la gauche de la matrice, les monomériaux xn-1,. Trouver un polynôme interpolant. La matrice de Vandermonde est une matrice n × n où la première rangée est le premier point évalué à chacun des n monomériaux, la deuxième rangée est le deuxième point x2 évalué à chacun des monomériaux n, et ainsi de suite. Dans le but de trouver la valeur de. Si tous les nombres α i {displaystyle alpha _ {i}} sont distincts, alors il est différent de zéro. L`équation suivante combine des équations pour jusqu`à et les valeurs de. La forme générale d`un polynôme quadratique est p (x) = C1 x2 + C2 x + C3.

En prenant le déterminant des matrices de Vandermonde de taille 1 × 1, 2 × 2, et 3 × 3, vous obtenez les trois polynômes 1, x1 − x2, et (x1 − x2) (x1 − x3) (x2 − x3). Pour adapter parfaitement un polynôme aux points de données, un polynôme d`ordre est exigé. C`est ce qu`on appelle le déterminant de Vandermonde ou le polynôme de Vandermonde. Une autre façon de recevoir cette formule est de laisser certains des α i {displaystyle alpha _ {i}} se rapprocher arbitrairement les uns des autres. Toutes les entrées de la ième colonne ont le degré total i – 1. Dans le sujet sur les moindres carrés, nous verrons comment nous pouvons adapter une fonction quadratique à ces données. Nous utilisons maintenant la première équation que nous avons introduite dans cette section pour trouver. Cela nous donne les coefficients pour le polynôme interpolant.

Dans l`équation ci-dessus, est défini comme, avec les crochets étant la notation pour les différences divisées. La mise en œuvre C est fournie ci-dessous. Cependant, un polynôme de degré n − 1 ne peut pas avoir de racines n à moins qu`il ne soit le polynôme zéro. Nous avons 4 points, ce qui signifie un polynôme d`ordre 3 adaptera les données. Ainsi, pour trouver les coefficients de notre polynôme, nous résolvons le système p (x i) = y i {displaystyle p (x_ {i}) = y_ {i}}, i 2, 1, 2} {displaystyle iin {0, 1, 2 }}. Le premier est plus simple, mais il est non-constructif et utilise la propriété de factorisation unique de polynômes multivariés. On peut montrer qu`un tel polynôme existe et qu`il n`y a qu`un seul polynôme qui correspond exactement à ces points. Pour i < j ≤ n et i < h ≤ n, il modifie un h, j {displaystyle a_ {h, j}} dans un h, j − a i, j a h, i/a i, i. Les valeurs dont nous avons besoin peuvent être lues à partir de la ligne du haut: 0,0. il dépend donc du choix d`une commande sur le α i {displaystyle alpha _ {i}}, tandis que son carré, le discriminant, ne dépend d`aucun ordre, et cela implique, par la théorie de Galois , que le discriminante est une fonction polynomiale des coefficients du polynôme qui a le α i {displaystyle alpha _ {i}} comme racines. Cette généralisation de la matrice Vandermonde le rend non-singulier (tel qu`il existe une solution unique au système d`équations) tout en conservant la plupart des propriétés de la matrice Vandermonde.

La meilleure façon de créer cette matrice est d`écrire les fonctions au-dessus de la matrice et les points à gauche de la matrice comme indiqué ci-dessous.

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